光电工程  2018, Vol. 45 Issue (2): 170616      DOI: 10.12086/oee.2018.170616     
大气湍流畸变波前斜率的稀疏分解
李娟娟1 , 蔡冬梅1 , 贾鹏1 , 李灿2     
1. 太原理工大学物理与光电工程学院,山西 太原 030024;
2. 太原理工大学信息工程学院,山西 太原 030024
摘要:利用压缩感知技术对大气湍流波前探测数据进行压缩,可使测量数据量大幅度减少,能有效降低数据的传输与存储压力,有利于湍流波前的实时测量;但压缩条件要求波前信号是稀疏的或在某个变换域内能够稀疏表示。本文对大气湍流波前斜率信号的稀疏性进行了初步研究,基于大气湍流的统计特性,在频域内对湍流功率谱作黄金分割采样(GS),建立符合大气湍流斜率物理特征的稀疏基,明确了湍流波前斜率的稀疏性。利用该GS稀疏基对波前斜率进行稀疏分解,并通过仿真实验对比了不同稀疏基对波前斜率的稀疏分解效果。在此基础上,以GS基作为训练基的初始化字典,进行K奇异值分解字典训练(KSVD),得到训练基(KSVD-GS),分析了该训练基对波前斜率信号的稀疏表示性能。本文验证了波前斜率能够稀疏分解,建立了一个较好的稀疏基,为压缩感知的应用提供了前提基础。
关键词大气湍流    波前探测    波前斜率    压缩感知    稀疏分解    
Sparse decomposition of atmospheric turbulence wavefront gradient
Li Juanjuan1, Cai Dongmei1, Jia Peng1, Li Can2     
1. Institute of Physics and Optoelectronics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan, Shanxi 030024, China;
2. Institute of Information Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan, Shanxi 030024, China
Abstract: Using compressive sensing technology in atmospheric turbulent wavefront detected data compression can greatly reduce the amount of measured data, can effectively reduce the pressure of data transmission and storage, which is good for real-time measurement of turbulent wavefront. However, the wavefront signal is required to be sparse or can be sparsely represented in one transform domain. In this paper, a preliminary study of the sparsity of the atmospheric turbulent wavefront gradient signal is carried out. Based on the statistical characteristics of atmospheric turbulence, the golden section (GS) is used to make the turbulent power spectrum in the frequency domain, and the sparse basis is established to meet the physical characteristics of the turbulent gradient, then the sparsity of the gradient of the turbulent wavefront is clarified. The sparse decomposition of the wavefront gradient is simulated by using the GS sparse base, and the sparse decomposition effect of different sparsity bases on the wavefront gradient is compared. On this basis, using the GS basis as the initialization training dictionary, K singular value decomposition (KSVD) dictionary training is carried out to get the training base (KSVD-GS), and then the sparse representation performance of this training base to the wavefront gradient signal is analyzed. This paper verifies that the wavefront gradient can be sparsely decomposed and build a better sparse basis, and provides the precondition for the application of compressive sensing.
Keywords: atmospheric turbulence    wavefront gradient    wavefront detection    compressed sensing    sparse decomposition    

1 引言

在天文成像观测中,由于大气湍流和噪声的影响,会使天文观测图像的成像质量下降。自适应光学技术是校正大气湍流扰动的有效手段[1-3]。其中,波前探测器作为自适应系统的眼睛,能够实时探测受大气湍流影响的畸变波前。夏克-哈特曼探测器(Shack-Hartmann wavefront sensor, SHWFS)是最常用的一种波前探测器[4]。通过微透镜阵列分割波前,得到湍流波前在XY方向的斜率GxGy,实现波前测量。目前SHWFS的子孔径数目通常为100~300个左右,但随着望远镜口径的增大、分辨率的提高以及测量数据的增大,波前探测的压力会越来越大:一方面要求SHWFS数目增多,对硬件要求提高;另一方面测量数据的增多,对数据的传输和存储带来不小的压力。针对上述问题,文献[5-6]将压缩感知技术用于大气湍流波前数据测量,通过随机测量,减少数据量,经过后期重构算法,得到完整的波前信息。压缩感知技术突破Nyquist采样定理的限制,减少SHWFS的测量数据量和降低高硬件要求。

压缩感知[7-12]的基本思想是:信号在某一变换域下具有稀疏性,利用一个与稀疏基不相关的观测矩阵将高维信号映射到低维空间上,得到稀疏随机测量值,再通过优化求解,用这些低维测量值重建出高维信号。信号具有稀疏性是应用压缩感知的前提。文献[6]直接采用泽尼克(Zernike)基作为稀疏基,讨论了不同压缩比下湍流波前的测量性能,对大气湍流波前压缩感知测量进行了研究,但未涉及湍流波前信号的稀疏性及其稀疏基的建立。

本文研究了大气湍流波前的稀疏性,根据大气湍流的统计特性,在频域内对湍流功率谱作黄金分割采样,建立符合大气湍流物理特征的稀疏基(golden section, GS),并与Zernike基、傅里叶基(discrete fourier transform, DFT)及冗余傅里叶基(over complet DFT, ODFT)的稀疏表示性能进行比较,在此基础上,以GS基作为训练基的初始化字典,进行K奇异值分解(K singular value decomposition,KSVD)字典训练[19],得到KSVD-GS训练基对湍流波前的稀疏表示。

2 理论 2.1 大气湍流波前及斜率的模拟产生

本文采用功率谱反演法[13-14]模拟二维条件下大气湍流随机相位分布$\varphi \left( {x, y} \right) $,即:

$ \begin{array}{l} \varphi (x, y) = \sum\limits_{n =-N + 1}^{n = N} {\;\sum\limits_{m =-N + 1}^{m = N} {\;{\mathit{\Phi} _k}({f_x}(m), {f_y}(n)) \cdot \mathit{\boldsymbol{h}}({f_x}(m), {f_y}(n))} } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdot \exp ({\rm{j2 \mathsf{ π} }}(x{f_x}(m) + y{f_y}(n))), \end{array} $ (1)

其中:$ \mathit{\boldsymbol{h}}({f_x}(m), {f_y}(n))$为复高斯随机数矩阵,大气湍流功率谱密度函数是${\mathit{\Phi} _k}({f_x}(m), {f_y}(n)) $

$ {\mathit{\Phi} _k}({f_x}, {f_y}) = 0.023 \cdot r_0^{-5/3} \cdot {f^{-11/3}}。$ (2)

采用叠加次谐波方法补偿低频不足:

$ \begin{array}{l} {\phi _{{\rm{SH}}}}(m, n) = \sum\limits_{p = 1}^{{N_p}} {\;\sum\limits_{m =-1}^1 {\;\sum\limits_{n =-1}^1 {R(m', n') \cdot f(m', n')} } } \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdot \exp \left( {{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \cdot {{\rm{3}}^{{\rm{-}}p}}\left( {\frac{{mm'}}{N} + \frac{{nn'}}{N}} \right)} \right)\;\\ f(m', n') = C \cdot {3^{ - 2p}} \cdot r_0^{ - 5/6} \cdot (f_{lx}^2 + f_{ly}^2), \end{array} $ (3)

其中:p为叠加的次谐波级数。图 1(a)为一帧大气湍流随机相位屏模拟结果。模拟条件:相位屏长D=2 m,大气相干长度r0=0.1,网格点N×N=256×256。图 1(b)为300幅大气湍流随机相位屏的相位结构函数的统计结果,与相位结构函数理论曲线吻合。

图 1 大气湍流相位屏及相位结构函数。(a)湍流相位屏; (b)相位结构函数对数图 Fig. 1 Atmospheric turbulence phase screen and structure function of logarithmic. (a) Atmospheric turbulence; (b) Structure function logarithmic

SHWFS是通过测量湍流波前在XY方向上的斜率GxGy,重构出波前相位分布。对大气湍流随机相位分布为$\varphi \left( {x, y} \right) $,用式(4)和式(5)计算波前斜率

$ {G_x} = \frac{{\Delta \varphi \left( {x, y} \right)}}{{\Delta x \times \left( {D/N} \right)}}, $ (4)
$ {G_y} = \frac{{\Delta \varphi \left( {x, y} \right)}}{{\Delta y \times \left( {D/N} \right)}}。$ (5)

图 2(a)图 2(b)图 1(a)表示的相位屏在XY方向的相应斜率GxGy

图 2 湍流波前XY方向的斜率。(a)波前X方向斜率Gx; (b)波前Y方向斜率Gy Fig. 2 The turbulent wavefront gradient in X, Y direction. (a) Wavefront X-direction gradient Gx; (b) Wavefront Y-direction gradient Gy
2.2 GS稀疏基的生成原理

定义基函数$ \mathit{\Psi} = [{\mathit{\Psi} _1}, {\mathit{\Psi} _2}, \mathrm{K}, {\mathit{\Psi} _n}]$,将每列波前斜率Gk(下文中斜率统一使用G表示,Gk表示第k列斜率)在该基函数下进行分解,每列信号可以表示为若干个系数乘以对应的基函数的列相加得到,公式表示如下:

$ {G_k} = \sum\limits_{i = 1}^N {{\alpha _{ki}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_i}} = {\alpha _{k1}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_1} + {\alpha _{k2}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_2} + \Lambda + {\alpha _{kn}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_n} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}{\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_k}, $ (6)

其中:系数$ {\mathit{\boldsymbol{\alpha }}_k} = {[{\alpha _{k1}}, {\alpha _{k2}}, \Lambda, {\alpha _{kn}}]^{\rm{T}}}$${\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_i} $是基函数的列向量,${\alpha _{ki}} $乘以对应的${\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_i} $再将各项相加得到所表示的信号。如果Gk是稀疏可压缩的,则αk中的非零系数个数是K个($K \ll N $),其余的N-K个系数几乎接近于零。K值越小,信号的稀疏性越好,所需测量数据量越少。

将式(6)写成矩阵形式,即:

$ \mathit{\boldsymbol{G}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} \alpha }}, $ (7)

其中:ΨRN×MαRN×Mα中有K×N个系数不为零。

式(7)中,稀疏基Ψ不同,对应的系数α不同,对波前斜率G进行稀疏分解就是求解各列波前斜率在该稀疏基下的分解系数。

本文先限定稀疏基的系数α的个数K×N个,计算不同K值下的各类稀疏基Ψ对波前斜率稀疏表示性能,采用正交匹配追踪算法(orthogonal matching pursuit,OMP)进行稀疏分解,其基本原理数学表征[15]

$ \min {\left\| {{\alpha _k}} \right\|_2}\;\;{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;\;{G_k} = \sum\limits_{i = 1}^K {{\alpha _{ki}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPsi} }}_i}} $ (8)

根据大气湍流的统计特征,大气湍流能量在频域内的分布是极不均匀的,主要集中在低频部分,因此表征大气湍流波前斜率的基函数应该以低频量为主。利用黄金分割法[16]在大气湍流功率谱函数上选取更能表征波前特征的频率点。

要减少稀疏分解的计算量,首先确定基函数Ψ的频率范围为$\left( {-{f_{\max }}, {f_{\max }}} \right] $来调整Ψ的大小。

定义最大、最小频率为

$ {f_{\min }} = \frac{1}{{1000D}}, $ (9)
$ {f_{\max }} = 1000。$ (10)

确定频率对应的采样误差函数(用Esh表示)为

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mathit{\Phi} _\varphi }(f) = 0.023 \cdot {f^{- 11/3}}\\ E({f_1}) = \int_{{f_0}}^{{f_2}} {{{[{\mathit{\Phi} _\varphi }({f_1})]}^{0.5}}{\rm{d}}{f_1}} \\ {E_{\rm{d}}}({f_1}) = {[{\mathit{\Phi} _\varphi }({f_1})]^{0.5}}({f_2} -{f_0})\\ {E_{{\rm{sh}}}} = \frac{{E({f_1}) -{E_{\rm{d}}}({f_1})}}{{{T_{{\rm{pn}}}}/f{}_1}} \end{array}。\right. $ (11)

运用式(11)的Esh进行判断,上述算法流程见图 3。根据图 3,得到特征频率点集合U=[u1, u1, ..., u3],将特征频率点代入式(12),得到湍流波前在二维空间基函数Ψ(m, n):

图 3 黄金分割法流程图 Fig. 3 Flowchart of golden section method
$ \mathit{\Psi} (m, n) = \frac{1}{{\sqrt C }}\sum\limits_{u = {u_1}}^{{u_m}} {\sum\limits_{v = {u_1}}^{{u_n}} c } \cdot {{\rm{e}}^{-{\rm{j}}(mu + nv)}}, \;0 < m, n \le N, $ (12)

其中:C为归一化系数。将Ψ(m, n)称为黄金分割稀疏基(golden section basis, GS)。

2.3 其它几种稀疏基的生成原理

为了分析GS基对湍流波前斜率信号的稀疏表示性能,本文同时生成其他几种稀疏基进行对比。

2.3.1 傅里叶基

完备傅里叶基(discrete Fourier transform,DFT,用$ {T_{{\rm{DFT}}}}$表示)可以表示为

$ {T_{{\rm{DFT}}}}(k, n) = \sqrt {\frac{1}{N}} {\rm{exp}}\left( {-{\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{N}kn} \right), \;0 < k, n \le N。$ (13)

根据式(13)建立的DFT基缺少低频量。因此,可以对DFT进行细分处理,生成过完备傅里叶基(over complete DFT basis, ODFT)增加基函数中的低频原子。根据图像稀疏表示的要求,稀疏基的行数要和表示对象的行数保持一致,引入克罗尼克函数(Kronecker)首先生成一个大小为$\sqrt N \times 4\sqrt N $的DFT矩阵,将其代入克罗尼克函数生成ODFT(用${T_{{\rm{ODFT}}}} $表示),表达式:

$ {T_{{\rm{ODFT}}}} = {\rm{kron}}\left( {{T_{{\rm{DFT}}}}, {T_{{\rm{DFT}}}}} \right), $ (14)

$ {T_{{\rm{ODFT}}}}$的大小为N×16N

2.3.2 Zernike基

在大气湍流波前φ表示中,常把其表示为泽尼克(Zernike)多项式的组合,Zernike多项式的定义[17]:

$ \varphi \left( {x, y} \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{\alpha _k}{Z_k}\left( {x, y} \right)}。$ (15)

以式(15)为基础,计算各项Zernike多项式,基函数的每一列表示一项多项式,作为基函数的一个原子。注意到,Zernike多项式是定义在单位圆域内的函数,对圆域内的各项Zernike多项式截取方形区域,最后构成一个N×N大小的完备Zernike基。

3 仿真结果与分析

进行了一系列的仿真实验用于分析上述基函数对波前斜率信号的稀疏表示效果。

利用式(1)~式(3)模拟生成一系列的大气湍流随机相位屏φ,并根据式(4)和式(5)计算得到湍流波前斜率分布GxGy。在不同的基函数下,利用OMP算法得到稀疏分解后的斜率Gx'、Gy',再利用区域法重构[18]波前相位分布φ',最后比较φφ'。

为了评价稀疏表示后重构出的φ',定义了两个评价指标。

1) 峰值信噪比(peak signal to noise ration,PSNR,用RPSNR表示),PSNR的定义为

$ {R_{{\rm{PSNR}}}} = 10 \times \lg \left( {\frac{{{{(\max (\varphi (i, j))-\min (\varphi (i, j)))}^2}}}{{\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {{{(\varphi (i, j)-\varphi (i, j))}^2}} } }}} \right)。$ (16)

PSNR是一种客观评价原始图像与重构图像的标准,当PSNR的值越大,表示稀疏重构图像与原图像越接近,重构效果越好。

2) 平均绝对误差占空比(mean absolute error ratio,MAER,用RMAER表示)

为了更加客观地评价稀疏表示的性能,本文定义平均绝对误差占空比(MAER)作为第二个评价指标。MAER是φφ'相减的误差绝对值的平均值与原始图像绝对值平均值的比,定义为

$ {R_{{\rm{MAER}}}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {\left| {\varphi (i, j)-\varphi {\rm{'(}}i{\rm{, }}j{\rm{)}}} \right|} } }}{{\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^N {\left| {\varphi (i, j)} \right|} } }}。$ (17)

MAER表示误差图像的能量占原图能量的比值。当MAER值越小,表明稀疏重构得到的图像越接近于原始图像。在比较PSNR的基础上,再比较图像的MAER的大小,可以更加充分对稀疏表示图像的性能进行评价。

首先分析稀疏系数K值相等条件下,GS、DFT、ODFT及Zernike基对湍流波前斜率的稀疏分解性能。图 4为其中的一个仿真实验结果,采用柯尔莫哥洛夫功率谱模型,生成大气湍流随机相位屏D=2,r0=0.1,网格点数N×N=256×256;规定K=20,即每列波前斜率信号在稀疏基下进行分解,分解后的非零稀疏个数为K图 4(a)4(c)4(e)4(g)分别为采用DFT、ODFT、Zernike以及GS基函数进行稀疏分解,再利用分解后的斜率值重构出湍流相位分布;图 4(b)4(d)4(f)4(h)为重构相位相对原始相位分布的残差分布。

图 4 在稀疏系数是20×256下各稀疏基复原的湍流及误差图。(a) DFT复原湍流,PSNR为34.45;(b) DFT湍流误差,MAER为0.038; (c) ODFT复原湍流,PSNR为35.56;(d) ODFT湍流误差,MAER为0.034; (e) Zernike复原湍流,PSNR为32.82; (f) Zernike湍流误差,MAER为0.047; (g) GS复原湍流,PSNR为40.29;(h) GS湍流误差,MAER为0.019 Fig. 4 When the sparse coefficient is 20 x 256 the restored turbulence and the error graph in each sparse basis. (a) DFT restored turbulence, PSNR is 34.45; (b) DFT error of turbulence, MAER is 0.038;(c) ODFT restored turbulence, PSNR is 35.56; (d) ODFT error of turbulence, MAER is 0.034; (e) Zernike restored turbulence, PSNR is 32.82; (f) Zernike error of turbulence, MAER is 0.047; (g) GS restored turbulence, PSNR is 40.29; (h) GS error of turbulence, MAER is 0.019

当稀疏系数个数是K×N=20×256,即K=20时,由图 4的残差图可以看出GS的误差范围明显小于其他稀疏基。分别计算各种基函数稀疏分解后的图像的PSNR和MAER,GS稀疏基的PSNR高于其他稀疏基6 dB,MAER值低于其他稀疏基0.03。

其次,分析不同稀疏基对信号的稀疏表示性能随着K值的变化情况,见图 5。分别比较PSNR和MAER随着K的变化曲线,其中Zernike稀疏基相较于其他稀疏基的稀疏表示性能最差,验证了Zernike可以较好表示低频特性的特点,且随着K的增大,重构误差提高的速度明显低于其他基函数。ODFT基比DFT,PSNR提高了0 dB ~3 dB,MAER降低了0~0.03,虽然性能有所提高,但基函数包含的原子数目增大,计算量会相应增加。相较于其他的稀疏基,在低K值下,GS的PSNR和MAER的指标明显优于其他基函数。随着K的增大,ODFT的性能略好于GS,这个问题完全可以通过增大GS的冗余度得到改善。

图 5 各稀疏基在不同稀疏系数下的比较。(a)不同稀疏系数下的PSNR;(b)不同稀疏系数下的MAER Fig. 5 The comparison of each sparse basis under different sparse coefficient. (a) PSNR in different sparse coefficient; (b) MAER in different sparse coefficient

除了增大GS的冗余度的方法之外,还可以通过训练完备GS基来构造学习完备基,使GS的稀疏表示性能进一步提高。下面以GS作为训练基的初始化字典,进行KSVD字典训练[19],得到KSVD-GS训练基。图 6为KSVD-GS对信号稀疏分解的PSNR和MAER值随着K的变化曲线,并与GS的结果进行对比。KSVD-GS的性能优于GS。

图 6 各个稀疏基在不同稀疏系数下的比较。(a)不同稀疏系数下的PSNR;(b)不同稀疏系数下的MAER Fig. 6 The comparison of each sparse basis under different coefficient. (a) PSNR in different sparse coefficient; (b) MAER in different sparse coefficient

除了大气湍流的影响,波前探测结果还不可避免受到噪声的污染,本文使用高斯白噪声,改变噪声图像的信噪比(signal noise ration, SNR),分析各稀疏基下信号稀疏分解的鲁棒性。仿真实验结果如图 7所示,分析PSNR和MAER可以看出,GS和KSVD-GS的稀疏表示仍优于其他稀疏基,并且GS的鲁棒性要优于其他稀疏基。

图 7 各个稀疏基在不同噪声下的比较。(a)不同稀疏系数下的PSNR;(b)不同稀疏系数下的MAER Fig. 7 The comparison of different sparse basis under different SNR. (a) PSNR of different sparse coefficient; (b) MAER of different sparse coefficient

模拟不同强度的大气湍流随机相位屏, 重复上述实验,结果完全符合上述实验结论,大气湍流强度的改变对实验结果没有明显影响。表 1是对60幅大气湍流随机相位屏的仿真实验结果。同样在K=20条件下,对比五种稀疏基对信号稀疏分解的PSNR、MAER值以及稀疏分解运行时间。GS的稀疏表示性能优于其他稀疏基,对相同大小的完备基来讲,Zernike基与GS的计算速度均高于DFT。GS在稀疏表示效果和计算时间方面都表现出良好的性能。

表 1 K=20 时不同稀疏基的稀疏表示性能及运行时间 Table 1 The sparse decomposition performance and running time in each sparse basis when K=20
Basis PSNR/dB MAER Time/s
DFT 36.9066 0.0289 1.735
ODFT 37.252 0.0280 2.430
Zernike 34.837 0.0393 0.8436
GS 39.1987 0.0236 0.8666
KSVD-GS 38.7901 0.0251 0.8369
4 结论

本文对压缩感知技术在波前测量中的应用进行了初步探索,研究了大气湍流波前斜率的稀疏性。压缩感知信号稀疏表示的基函数一方面决定信号的稀疏测量量,另一方面会影响稀疏信号的重建精度。本文根据大气湍流统计特征,采用黄金分割法在湍流功率谱上选取基函数的特征频率点,建立完备基GS,进行了湍流波前斜率信号的稀疏分解实验,并与DFT、ODFT和Zernike完备基进行了比较,结果表明:GS能够很好地对波前斜率进行稀疏表示;在此基础上,对GS进行学习训练,得到训练稀疏基KSVD-GS,进一步提高GS对湍流信号的稀疏分解性能。

当然,本文仅对压缩感知技术在波前探测中的应用进行了初步探索,要真正将该技术用于波前测量上,还要进行大量的理论和实验研究。

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