﻿ 分数傅里叶变换理论及其应用研究进展
 光电工程  2018, Vol. 45 Issue (6): 170747      DOI: 10.12086/oee.2018.170747

1. 北京理工大学信息与电子学院，北京 100081;
2. 分数域信号与系统北京市重点实验室，北京 100081;
3. 北京邮电大学感知技术与产业研究院，北京 100876

Research progress in theories and applications of the fractional Fourier transform
Ma Jinming1,2, Miao Hongxia1,2, Su Xinhua1,2, Gao Chang1,2, Kang Xuejing3, Tao Ran1,2
1. School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;
2. Beijing Key Laboratory of Fractional Signals and Systems, Beijing 100081, China;
3. Institute of Sensing Technology and Business, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China
Abstract: The fractional Fourier transform (FRFT) is a generalization of the Fourier transform. The FRFT can characterize signals in multiple fractional domains and provide new perspectives for non-stationary signal processing and linear time variant system analysis, thus it is widely used in reality applications. We first review recent developments of the FRFT in theory, including discretization algorithms of the FRFT, various discrete fractional transforms, sampling theorems in fractional domains, filtering and parameter estimation in fractional domains, joint analysis in multiple fractional domains. Then we summarize various applications of the FRFT, including radar and communication signal processing in fractional domains, image encryption, optical interference measurement, medicine, biology, and instrument signal processing based on the FRFT. Finally we discuss the future research directions of the FRFT, including fast algorithm of the FRFT, sparse sampling in fractional domains, machine learning utilizing the FRFT, graph signal processing in fractional domains, and discrete FRFT based on quantum computation.
Keywords: fractional Fourier transform    discretization algorithms    discrete fractional transforms    sampling    filtering    applications

1 引言

2 定义及性质 2.1 分数傅里叶变换的定义

 ${X_p}(u) = {F^p}[x](u) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t){K_p}{\rm{(}}t, u){\rm{d}}t} ,$ (1)

 ${K_p}(t, u) = \left\{ \begin{array}{l} {A_\alpha }{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{{\rm{i(}}{t^2}\cot \alpha /2 - ut\csc \alpha + {u^2}\cot \alpha /2)}}, {\rm{ }}\alpha \ne n{\rm{ \mathsf{ π} }}\\ {\rm{ \mathsf{ δ} }}(t - u){\rm{, }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha = 2n{\rm{ \mathsf{ π} }}\\ {\rm{ \mathsf{ δ} }}(t + u){\rm{, }}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha = (2n \pm 1){\rm{ \mathsf{ π} }} \end{array} \right.,$ (2)

 图 1 线性调频信号的时域、频域及分数域表示 Fig. 1 Chirp signal in time, frequency, and fractional domain

 $F\left[ {{\varphi _n}(t)} \right] = \exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}n} \right){\varphi _n}(t), {\rm{ }}n = 0, 1, 2, ...,$ (3)

 ${F^p}\left[ {{\varphi _n}(t)} \right] = \exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}pn} \right){\varphi _n}(t), {\rm{ }}n = 0, 1, 2, ...。$ (4)

 ${K_p}(t, u) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}np} \right){\varphi _n}(t)} {\varphi _n}(u)。$ (5)

 ${X_p}(u){\rm{ = }}\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)\sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}pn} \right){\varphi _n}(t)} {\varphi _n}{\rm{(}}u){\rm{d}}t} ,$ (6)

 ${X_p}(u) = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {{\varphi _n}(u)\left( {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t)\exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{2}pn} \right){\varphi _n}{\rm{(}}t){\rm{d}}t} } \right)} 。$ (7)

 $\begin{array}{l} {X_{{p_1}, {p_2}}}(u, v) = {F^{{p_1}, {p_2}}}[x](u, v)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {x(t, s){K_{{p_1}, {p_2}}}{\rm{(}}s, t, u, v)} {\rm{d}}t} {\kern 1pt} {\rm{d}}s, \end{array}$ (8)

2.2 分数傅里叶变换的性质

1) 边界条件

 ${F^0} = I, {F^1} = F,$ (9)

2) 阶次可加性

 ${F^{{p_1}}}{F^{{p_2}}} = {F^{{p_1} + {p_2}}},$ (10)

3) 可逆性

 ${({F^p})^{ - 1}} = {F^{ - p}},$ (11)

4) 周期性

 ${F^{p + 4n}} = {F^p},$ (12)

5) 线性

 ${F^p}\left[ {\sum\limits_n {{c_n}{f_n}(t)} } \right] = \sum\limits_n {{c_n}{F^p}\left[ {{f_n}(t)} \right]} ,$ (13)

6) 酉性

 ${\left\{ {{F^p}\left[ {f(t)} \right]} \right\}^{\rm{H}}} = {F^{ - p}}\left[ {f(t)} \right],$ (14)

7) 交换性

 ${F^{{p_1}}}{F^{{p_2}}} = {F^{{p_2}}}{F^p}^{_1},$ (15)

8) 结合性

 $({F^{{p_1}}}{F^{{p_2}}}){F^{{p_3}}} = {F^{{p_1}}}({F^{{p_2}}}{F^p}^{_3}),$ (16)

9) 帕塞瓦尔定理

 $\int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {f(t)} \right|}^2}} {\rm{d}}t \equiv \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{{\left| {{F^p}\left[ {f(t)} \right]} \right|}^2}} {\rm{d}}u。$ (17)

 图 2 旋转α角度的时频平面[7] Fig. 2 Time-frequency plane rotated by an angle α[7]

1994年, Ozaktas[18]指出分数傅里叶变换的Wigner-Ville分布(WVD)是由原信号的WVD旋转α角度后得到的:

 ${W_{{X_p}}}(u,v) = {W_x}(u{\rm{cos}}\alpha - v{\rm{sin}}\alpha ,u{\rm{sin}}\alpha + v{\rm{cos}}\alpha ),$ (18)

 ${W_x}(u, v) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } x \left( {u + \frac{\tau }{2}} \right){x^ * }\left( {u - \frac{\tau }{2}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}v\tau }}{\rm{d}}\tau 。$ (19)

3 数值计算

3.1 采样型离散化算法

1996年, Ozaktas在文献[27]中提出了一种采样型离散化算法, 该算法将分数傅里叶变换算子分解成两个Chirp乘积和一个Chirp卷积三个简单算子的级联, 实现对信号的离散分数傅里叶变换的计算。然而在Chirp卷积的计算过程中需要用到复杂的Fresnel积分。为简化计算过程, Ozaktas[27]提出了该算法的另一种实现方法:先对信号进行时域解调, 再对解调信号实施Nyquist-Shannon插值公式, 最后对分数域变量进行离散化。总体来说, Ozaktas的采样型算法将信号的N个采样点映射为其分数傅里叶变换的N个采样点, 计算复杂度为O(N·log2N), 具体需要2N+N·log2N次乘法操作, 与快速傅里叶变换相当, 具有计算速度快、精度高的优点。然而该算法在使用之前需要对原始信号进行量纲归一化, 且不满足阶次相加性和可逆性, 限制了其在工程实践中的应用。2000年, Pei[28]通过对原信号和其分数傅里叶变换进行适当采样, 得到了分数傅里叶变换的另一种离散化算法。利用该算法得到的离散分数傅里叶变换具有正交性和可逆性, 只需进行两次Chirp乘积和一次快速傅里叶变换运算, 计算复杂度为O(N·log2N), 具体需要2N+ (N/2)·log2N次乘法操作, 是到目前为止计算复杂度最低的分数傅里叶变换数值计算方法。其缺点是不完全满足阶次可加性(但是可以利用一定的转换关系, 从一个域得到另一个域的结果), 而且需要对时域和分数域的采样间隔加以限制, 因此该算法对Chirp信号的聚集性比Ozaktas提出的采样型离散化算法要差[6]

3.2 特征分解型离散化算法

1982年, Dickinson[29]通过引入与离散傅里叶变换(discrete Fourier transform, DFT)矩阵F可交换的矩阵S, 来求解DFT矩阵的特征向量, 并讨论了其特征值的多样性。1997年, Pei[30]首先提出从DFT矩阵的特征值和特征向量出发, 构造离散分数傅里叶变换矩阵:

 ${\mathit{\boldsymbol{F}}^\alpha } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{( - {\rm{i}}k\alpha ){\mathit{\boldsymbol{v}}_k}\mathit{\boldsymbol{v}}_k^{\rm{T}}}}} , \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N{\rm{为奇数}}\;}\\ {\sum\limits_{k = 0}^{N - 2} {{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{( - {\rm{i}}k\alpha ){\mathit{\boldsymbol{v}}_k}\mathit{\boldsymbol{v}}_k^{\rm{T}}}}} + {{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{( - {\rm{i}}N\alpha ){\mathit{\boldsymbol{v}}_N}\mathit{\boldsymbol{v}}_N^{\rm{T}}}}, \;N{\rm{为偶数}}} \end{array}} \right.\;\;\;,$ (20)

 N 离散分数傅里叶变换的特征值 4m exp(-ikα), k=0, 1, …, 4m-2, 4m 4m+1 exp(-ikα), k=0, 1, …, 4m-1, 4m 4m+2 exp(-ikα), k=0, 1, …, 4m, 4m+2 4m+3 exp(-ikα), k=0, 1, …, 4m+1, 4m+2

 酉性 阶次可加性 可逆性 逼近连续FRFT 闭合式 计算复杂度 Ozaktas采样型 × × × √ × O(N·log2N) Pei采样型 √ × √ √ √ O(N·log2N) 特征分解型 √ √ √ √ × O(N2)
4 离散分数变换

2006年, Hseu和Pei[59-60]率先提出了多参数分数傅里叶变换的定义。该变换将特征分解型离散傅里叶变换中的单个变换阶次替换成多维向量, 保持特征分解型离散分数傅里叶变换的全部性质, 因此可以将其看作是离散分数傅里叶变换的一种广义形式。在应用方面, 基于多参数分数傅里叶变换的双随机相位编码可实现比分数傅里叶变换更高的安全性能。2008年, Lang[61]利用两个多维向量定义了一种线性加权型多参数分数傅里叶变换, 并于2010年提出了相应的离散化算法[62]。与此同时, Lang基于张量积定义了二维多参数离散分数傅里叶变换, 并将其应用于图像加密领域[62]。但是Lang所提出的多参数分数傅里叶变换具有周期性, 这会导致图像加密时的密钥不唯一。为此, Ran[63]于2009年对Lang的定义进行了修正。2012年, Lang[64]又定义了一种保实多参数分数傅里叶变换, 基于这种变换的图像加密算法对盲解密具有良好的鲁棒性[64]。2016年, Kang[65]将上述多参数分数变换统一到一个一般的理论框架中, 并在该理论框架的基础上构造出了新的变换, 将其应用于图像加密、图像特征提取等领域[65]

Liu[66]率先提出了离散分数随机变换的定义。这种变换的特征值为离散分数傅里叶变换的特征值, 特征向量则是通过构造对称随机矩阵得到的, 因此信号经离散分数随机变换后得到的结果具有随机性, 而这种随机性恰好可以用于图像加密。随后, Liu[67]又用类似的方式定义了随机分数余弦变换, 并证明随机分数余弦变换可以看作是离散分数随机变换的一种特殊形式。通过随机化分数傅里叶变换的核函数, Liu[68]定义了随机分数傅里叶变换, 并讨论了其光学实现。Pei[69]通过随机化分数傅里叶变换的特征值和特征向量得到了随机分数傅里叶变换的另一种定义。在这种定义下, 信号的随机分数傅里叶变换的幅度和相位也具有随机性。基于上述研究成果, Kang[70]于2015年提出了一种多通道随机离散分数傅里叶变换, 并研究了该变换的性质和光学实现。

Pei[71]于1999年提出了离散分数哈达玛变换的定义, 并分析了该变换所具有的性质。Tseng[72]随后研究了该变换的特征值和特征向量所具有的性质。Tao[73]于2009年定义了多参数离散分数哈达玛变换, 分析了该变换所具有的性质, 并将其应用于双随机相位编码中。Liu[74]于2008年提出了离散分数角变换的定义。该变换的特征值为分数余弦变换的特征值, 特征向量取自一个由任意角度生成的正交矩阵列向量。Lammers[75]于2014年研究了分数Zark变换, 并分析了该变换所具有的性质。

5 采样

 图 3 分数域窄带信号 Fig. 3 Narrow-band signal in fractional domain
5.1 均匀采样

 $\begin{array}{l} {x_{\rm{r}}}(t) = \sqrt {\frac{{1 + {\rm{i}}\cot \alpha }}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}} {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\cot \alpha /2{t^2}}}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x(nT)} {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\cot \alpha /2{{\left( {nT} \right)}^2}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\; \times \frac{{\sin \left[ {{u_{\rm{r}}}\csc \alpha (t - nT)} \right]}}{{{u_{\rm{r}}}\csc \alpha (t - nT)}}。\end{array}$ (21)

5.2 非均匀采样

1) 周期非均匀

 图 4 周期非均匀采样模型[96] Fig. 4 The model of periodic nonuniform sampling[96]
 ${{t}_{kMT+m}}=kMT+{{t}_{m}},\ \ m=0,1,2,...,M-1;\ k\in \mathbf{Z}$ (22)

2) 时钟抖动造成的非均匀

 图 5 时钟抖动造成的非均匀采样模型[99] Fig. 5 The model of nonuniform sampling due to clock jitter[99]

3) 有限个点偏移造成的非均匀

 图 6 有限个点偏移造成的非均匀采样模型[97] Fig. 6 The model of nonuniform sampling due to migration of finite samples[97]

4) 一般非均匀

 $D = \mathop {\sup }\limits_{k \in Z} \left| {{t_k} - k} \right| < \frac{1}{4},$ (23)

Tao[97]于2008年给出了基于分数傅里叶变换的信号重构公式。之后, Ran和Zhao[103-104]在再生核希尔伯特空间中研究了与该模型相关的采样定理, 证明了任意信号都可以表示为再生核的线性组合。实际上, 该模型在特定条件下可退化为其他非均匀采样模型。比如, Xu[99]在2016年利用该模型的重构公式来重构由时钟抖动造成的非均匀采样信号, 这是由于抖动量通常远小于采样间隔, 因此满足限制条件(23)。另外, 当有限个采样点的偏移量满足限制条件(23)时, 该模型将会退化为有限个点偏移造成的非均匀采样模型。但由于该模型下的重构核函数与每个非均匀采样时刻都有关系, 计算量大, 因此其重构公式并不实用, 后续的研究成果也比较少。

5.3 多通道采样

 图 7 多通道采样模型[105] Fig. 7 The model of multichannel sampling[105]

5.4 随机信号的采样

6 滤波与参数估计

 ${x_{{\rm{out}}}} = {F^{ - \alpha }}[{F^\alpha }[h] \cdot {F^\alpha }[{x_{{\rm{in}}}}]],$ (24)

 图 8 分数域滤波[139] Fig. 8 Filtering in fractional domain[139]

 $y(t) = H\left[ {x(t)} \right] + n(t),$ (25)

 $\sigma _{\rm{e}}^2 = E\left[ {{{\left\| {{F^\alpha }(x) - {F^\alpha }({x_{\rm{r}}})} \right\|}^2}} \right],$ (26)

 ${x_{\rm{r}}} = {F^{ - \alpha }}[g \cdot {F^\alpha }[y]],$ (27)

 ${g_{{\rm{opt}}}} = \arg \mathop {{\rm{min}}}\limits_g \sigma _e^2。$ (28)

Kutay[142]将分数域最优滤波理论应用到二维图像复原中。上述有关分数域最优滤波的研究成果在Kuaty[143]于1999年出版的专著中均有介绍, 除此之外, 该著作还涉及了多分数域滤波、分数域多阶滤波、分数域多通道滤波、短时分数傅里叶滤波等理论, 以及这些滤波方法在一维信号复原和图像复原中的应用。相比于傅里叶域的经典方法, 分数域最优滤波方法无需附加条件就能达到更好的滤波效果。然而上述分数域最优滤波只能实现单一变换阶次下的信号处理。为此, Erden[144]于1999年将分数域最优滤波推广为分数域重复滤波, 通过对分数域滤波器进行级联, 并对每个级联滤波器的变换阶次进行优化选择, 实现更好的信号复原效果。Qi[145]于2004年研究了被白噪声污染的Chirp信号的分数域滤波问题, 并利用最小化均方误差的方法, 证明了分数域最优滤波器是维纳滤波器。

Chirp信号广泛应用于雷达和通信等领域, 与之相关的信号检测与参数估计是雷达、通信信号处理中的关键问题。分数傅里叶变换可看作是信号在Chirp基上的分解, 因此非常适合用来解决此类问题。Qi[42]于2004年提出了一种基于分数傅里叶变换的多分量Chirp信号的检测与参数估计方法。由于Chirp信号在特定的分数域具有能量聚集性, 因此可将Chirp信号的检测与参数估计问题转化为分数域上的优化搜索问题[42]。Qi所提出的基于拟牛顿法的两级搜索算法具有计算复杂度低、估计精度高的优点。除此之外, Qi所提出的多成分Chirp信号的检测与估计方法能在分数域实现信号分离, 有效抑制了信号检测过程中强信号分量对弱信号分量的影响。但在实际应用中, 当多目标返回的Chirp信号的参数很相似时, 由于分辨率的影响, 上述方法很难将目标区分开。Liu[146]于2012年通过选择合适的离散分数傅里叶变换的维度归一化参数, 实现了多成分Chirp信号的区分。信号的时延估计是信号处理领域的另一个重要问题。Tao[147]于2009年提出了一种基于分数傅里叶变换的Chirp信号的时延估计方法。该方法利用的是分数傅里叶变换的时延性质, 计算复杂度低, 方差逼近Cramer-Rao界。2013年, Hao[148]提出了基于集成经验模态分解(ensemble empirical mode decomposition, EEMD)-分数傅里叶变换的多分量Chirp信号的检测与参数估计方法。通过利用EEMD算子, 从频域分解出信号的窄带分量, 然后利用分数傅里叶变换准确估计每个分量的参数。该方法解决了信号分解的模式混叠问题, 将多分量Chirp信号的检测问题简化为一维搜索问题, 在减少计算量的同时提高了检测精度。如何在低信噪比情况下快速估计Chirp信号的参数也是该领域面临的一个难题。2014年, Liu[135, 138]将分段离散多项式相位变换与分数傅里叶变换相结合, 首先利用分段多项式相位变换对微弱信号在快时间进行积累, 再利用快速傅里叶变换在慢时间对信号的调频率进行粗估, 最后利用稀疏分数傅里叶变换在调频率的粗估值附近进行峰值搜索, 从而实现了多分量Chirp信号参数的快速估计。

7 多域分析

 图 9 多分数域分析 Fig. 9 Multi-domains analysis

1991年, Mustard[149]指出信号在两个分数域的带宽乘积不同于经典的时域和频域的带宽乘积。1995年, Ozaktas和Aytur[150-151]得到了复信号在两个分数域的带宽乘积下界:

 $\Delta {u_\alpha }^2\Delta {u_\beta }^2 \ge \frac{1}{4}{\sin ^2}(\alpha - \beta )。$ (29)

Akay[152]于1997年从分数算子的角度得到了同样的分数域带宽乘积下界。Shinde[153]于2001年得到了实信号在两个不同分数域的分数域带宽乘积下界, 并证明了高斯信号可以达到该下界:

 $\begin{array}{l} \Delta u_\alpha ^2\Delta u_\beta ^2 \ge \left( {\Delta {t^2}\cos \alpha \cos \beta + \frac{{\sin \alpha \sin \beta }}{{4\Delta {t^2}}}} \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \frac{1}{4}{\sin ^2}(\alpha - \beta ) \end{array}$ (30)

Capus[154]于2003年深入研究了高斯信号在两个不同分数域的带宽乘积下界。Xu[155]于2009年给出了两种分数域熵不确定性原理, 并指出了乘积下界与分数傅里叶变换的参数以及采样间隔之间存在的关系。Zhao[156]于2009年提出了实信号和复信号在两个不同分数域的带宽乘积下界的一般表征, 得到了信号在两个不同分数域的最小分辨单元和最优分析窗函数, 揭示了多分数域分解的分辨率机理, 对不同场合设计具有最优分辨力的信号具有重要指导意义。Shi[157]于2012年指出, 正如任意非零信号在时域和频域不可同时具有无限大带宽, 任意非零信号在两个不同的分数域也不可同时具有无限大带宽。近期有关分数域不确定性原理的文献多致力于得到更为紧致的分数域带宽乘积下界[158]

8 应用

8.1 分数域雷达信号处理

1) 基于分数傅里叶变换的动目标探测(MTD)

2) 基于分数傅里叶变换的合成孔径雷达(SAR)成像

8.2 分数域通信信号处理

8.3 分数域图像加密

8.4 分数域光学干涉测量

 $\begin{array}{l} I(x, y) = {I_0} + {I_1} \cdot \cos \left( {{\alpha _{0x}}{x^2} + {\alpha _{0y}}{y^2}} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left. { + {\omega _{0x}}x + {\omega _{0y}}y + {\varphi _0}} \right), \end{array}$ (31)

8.5 分数域医疗、生物、仪器信号处理

1)分数域医疗健康

2) 分数域生物特征识别

3) 分数域故障检测

9 结论与展望 9.1 结论

1) 高效的数值计算方法是分数傅里叶变换在工程实践中得以应用的重要前提, 文中介绍了两种应用广泛的离散化算法, 包括采样型离散化算法和特征分解型离散化算法;

2) 介绍了由特征分解型离散分数傅里叶变换衍生的各种离散分数变换, 包括离散分数余弦变换、离散分数希尔伯特变换、多参数离散分数傅里叶变换、离散分数随机变换等;

3) 信号的采样与重构是信号处理中的一个基础问题, 文中主要介绍了三种采样模型:均匀采样、非均匀采样和多通道采样, 涉及的信号类型包括确定性信号和随机信号;

4) 建立在分数域滤波基础上的信号检测与参数估计是雷达、通信信号处理中的关键技术, 目前取得的研究成果包括:分数域卷积定理、分数相关和分数功率谱、短时分数傅里叶变换、稀疏离散分数傅里叶变换等;

5) 多域分析是分数域信号处理的特色之一, 分数域不确定性原理揭示了多分数域分解的分辨率机理, 多域分析已在多分数域信息复用和信息安全领域得到良好应用;

6) 工程实践中遇到的许多信号都是Chirp信号, 如雷达回波信号、通信信号、光学干涉信号、工业领域的故障信号等。分数傅里叶变换适合处理Chirp信号, 在上述领域中得到了广泛应用。除此之外, 分数傅里叶变换也被应用于医学、图像加密、生物特征识别等领域。

9.2 展望

1) 具有低计算复杂度的数值计算方法。目前离散分数傅里叶变换的数值计算方法仍具有很高的计算复杂度, 大大限制了分数傅里叶变换在工程实践中的应用。该方向可基于稀疏离散分数傅里叶变换进行更为深入的探索。

2) 将分数域采样理论与压缩感知相结合, 进一步降低采样率。多路并行高速A/D采样, 该模型可看作多通道采样与时钟抖动引起的非均匀采样的结合。基于随机信号的采样理论仍有许多问题可探索。

3) 推进分数傅里叶变换在雷达、通信、光学干涉测量等领域的应用。针对分数域雷达信号处理, 开展高加速目标的距离徙动及基于分数阶傅里叶变换的多普勒频率徙动补偿算法研究, 提升高速高加速目标的信号处理增益。研究随机信号在分数域的统计特性, 开展分数域信号建模、杂波抑制等算法研究, 提高目标识别的概率。针对分数域通信信号处理, 研究基于稀疏分数傅里叶变换的深度扩频快捕技术和多通道累加的信噪比补偿技术等。针对分数域光学干涉测量中存在算法计算量大、系统复杂度高等问题, 研究二维Chirp信号的采样和量化算法, 完成对干涉条纹的低速和低量化位数的采样和高精度重构。

4) 将分数傅里叶变换与机器学习结合。分数傅里叶变换可以提供图像在多个分数域的特征, 这些特征有助于机器学习对图像分类。

5) 基于分数傅里叶变换的图信号处理。基于傅里叶变换的图信号处理是当下的一个研究热点。可研究基于图分数傅里叶变换的采样、滤波等理论, 并进一步探索分数域图信号处理在复杂系统中的监控、分析、决策等问题中的应用。

6) 研究分数傅里叶变换的量子算法, 利用量子计算的特性减少分数傅里叶变换的计算复杂度, 利用量子电路实现离散分数傅里叶变换, 探究其在速度上的优势, 并将其应用到实际当中。