﻿ 线性正则变换的离散化研究进展
 光电工程  2018, Vol. 45 Issue (6): 170738      DOI: 10.12086/oee.2018.170738

1. 北京理工大学数学与统计学院, 北京 100081;
2. 复杂信息数学表征分析与应用北京市重点实验室, 北京 100081;
3. 北京理工大学信息与电子学院, 北京 100081

Research progress on discretization of linear canonical transform
Sun Yannan1,2, Li Bingzhao1,2, Tao Ran3
1. School of Mathematics and Statistics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China;
2. Beijing Key Laboratory on MCAACI, Beijing 100081, China;
3. School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China
Abstract: Linear canonical transformation (LCT) is a generalization of the Fourier transform and fractional Fourier transform. The recent studies have shown that LCT is widely used in optics, signal processing and applied mathematics, and the discretization of the LCT becomes vital for the applications of LCT. Since the discretization of LCT cannot be obtained by directly sampling in time domain and LCT domain, the discretization of the LCT becomes the focus of investigation recently. Based on the development history of LCT discretization, a review of important research progress and current situation of discretization of the LCT is presented in this paper. Meanwhile, the connection among different discretization algorithms and the future development direction are given. It is of great reference value for researchers to fully understand the LCT discretization method and can further promote its engineering applications.
Keywords: fractional Fourier transform    linear canonical transform    discrete-time linear canonical transform    linear canonical series    discrete linear canonical transform

1 引言

 L_{x}^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(u)=\left\{ \begin{align} &\int_{-\infty }^{+\infty }{x(t){{K}_{\mathit{\boldsymbol{A}}}}(u, t)\text{d}t}\ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ b\ne 0 \\ &\sqrt{d}\cdot \exp \left( \text{i}\frac{cd{{u}^{2}}}{2} \right)x(du)\ , \ b=0 \\ \end{align} \right., (1)

 ${{K}_{\mathit{\boldsymbol{A}}}}(u, t)=\frac{1}{\sqrt{\text{i}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }b}}\exp \left[ \text{i}\left( \frac{a{{t}^{2}}}{2b}-\frac{ut}{b}+\frac{d{{u}^{2}}}{2b} \right) \right]$

 $\frac{1}{\sqrt{\text{i}b}}=\frac{1}{\sqrt{\text{ }\!\!|\!\!\text{ }b|}}\exp \left[ -\text{i}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}\left( \text{sgn}(b)+\frac{1}{2} \right) \right],$

$\text{sgn}(\cdot )$是符号函数, 式(1)称为角频率意义下的LCT。通过变量代换$t=\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}t$, $u=\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}u$可以得到与式(1)等价的另一个LCT的定义, 称为频率意义下的LCT, 此时变换核为[3-4]

 ${{K}_{\mathit{\boldsymbol{A}}}}(u, t)=\frac{1}{\sqrt{\text{i}b}}\exp \left[ \text{i}2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( \frac{a}{2b}{{t}^{2}}-\frac{u}{b}t+\frac{d}{2b}{{u}^{2}} \right) \right]。$

 \left\{ \begin{align} &L_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}(u)=\int_{-\infty }^{+\infty }{{{C}_{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(u, t)x(t)\text{d}t} \\ &{{C}_{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(u, t)=\sqrt{\beta }\cdot {{\text{e}}^{-\text{i}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}}}\cdot {{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ (}\alpha {{u}^{2}}-2\beta t\cdot u+\gamma \cdot {{t}^{2}}\text{)}}} \\ \end{align} \right., (2)

 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\gamma }{\beta }}&{\frac{1}{\beta }}\\ { - \beta + \frac{{\alpha \gamma }}{\beta }}&{\frac{\alpha }{\beta }} \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\alpha }{\beta }}&{ - \frac{1}{\beta }}\\ {\beta - \frac{{\alpha \gamma }}{\beta }}&{\frac{\gamma }{\beta }} \end{array}} \right]^{ - 1}},$
 $\alpha =\frac{d}{b}=\frac{1}{a}\left( \frac{1}{b}+c \right),$
 $\beta =\frac{1}{b},$
 $\gamma =\frac{a}{b}=\frac{1}{d}\left( \frac{1}{b}+c \right)。$

LCT是一种仿射变换并且保持区域面积不变, 线性坐标变换效应对波场的相位空间描述, 例如LCT的Wigner-ville分布函数[8-9]。相对Fourier变换和分数阶Fourier变换具有0个和1个变换参数, LCT具有3个自由参数, 这使得在传统Fourier变换域和分数阶Fourier变换域非带限信号可能为某个参数下LCT域带限信号, 这克服了一些理论对信号带限的限制。LCT与分数阶Fourier变换在时频面上的旋转关系相比, 不仅包括旋转关系, 还包括压缩和拉伸等关系, 因此LCT更加灵活, 在光学, 应用数学和信号处理领域具有强大的潜力。近年来, 分数阶Fourier变换无论是在理论研究还是实际应用中都取得了很好的成果[3, 10-20]。LCT是分数阶Fourier变换的广义形式, 其相关理论研究和应用也逐渐引起国内外研究人员的重视。在1997年, 土耳其比尔肯大学的教授Barshan和Ozaktas团队在文献[21]中首先介绍了如何应用线性正则变换来进行最优滤波器设计。随后, 从2000年起, 台湾国立大学Pei教授团队先后探究了LCT的离散化方法[22-26], 特征值和特征向量[27-29]、二维LCT[26, 30-32]、解析信号的LCT[33-34]等理论; 在2006年, 以色列本·古里安大学Stern教授团队首次研究了LCT域的采样问题[35-36], 这为LCT的采样理论研究提供了一种新思路。在此之后, 国内研究者北京理工大学陶然教授和李炳照教授、哈尔滨工业大学史军教授和西安电子科技大学魏德运教授等团队对LCT体系下的采样问题进行了深入的研究, 并取得了很好的研究成果[37-41]。卷积定理是Fourier变换的重要基本定理之一, 在2006年陶然教授团队首次提出了LCT域的卷积定理并将其应用于最优滤波器设计[42]。继而有关LCT的基本理论, 如不确定性原理, LCT与模糊函数以及Winger-ville分布的关系, 最近十几年来也逐渐被提出[43-48]。结合这些基础理论, LCT已经被广泛地应用在瞬时频率估计[49]、信号的检测与估计[50]、线性正则域滤波设计[51-52]、雷达系统[53]、图像处理[54]、语音信号分析[55]等方面。

2 线性正则变换级数(LCS)和离散时间线性正则变换(DTLCT)

 $x\text{(}t-T\text{)exp(i }\!\!\pi\!\!\text{ }\gamma \text{ (}t-T{{)}^{2}})=x\text{(}t\text{)exp(i }\!\!\pi\!\!\text{ }\gamma \cdot {{t}^{2}}),$ (3)

 $\bar{x}{{\text{(}t\text{)}}_{({{\mathit{\boldsymbol{M}}}^{-1}}, B)}}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{x\text{(}t-nB\text{)}{{\text{e}}^{-\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\gamma \text{ }nB\text{(2}t-nB)}}},$ (4)
 $\bar{L}_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}{{\text{(}u\text{)}}_{(\mathit{\boldsymbol{M}}, W)}}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{L_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}\text{(}u-nW\text{)}{{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\alpha \text{ }nW\text{(2}u-nW)}}},$ (5)

 $\bar{L}_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}{{\text{(}u\text{)}}_{(\mathit{\boldsymbol{M}}, W)}}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{x\text{(}n\Delta t\text{)}{{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \text{ }\!\![\!\!\text{ }\alpha {{u}^{2}}-2\beta u(n\Delta t)+\gamma {{\text{(}n\Delta t)}^{2}}]}}},$ (6)
 $x\text{(}n\Delta t\text{)}=\int_{{{(-2\Delta t\left| \beta \right|)}^{-1}}}^{{{(2\Delta t\left| \beta \right|)}^{-1}}}{\bar{L}_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}{{\text{(}u\text{)}}_{(\mathit{\boldsymbol{M}}, W)}}{{\text{e}}^{-\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \text{ }\!\![\!\!\text{ }\alpha {{u}^{2}}-2\beta u(n\Delta t)+\gamma {{\text{(}n\Delta t)}^{2}}]}}\text{d}u},$ (7)

 $\bar{L}_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}{{\left( u-\frac{1}{\Delta t|\beta |} \right)}_{(\mathit{\boldsymbol{M}}, W)}}{{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \alpha {{\left( u-\frac{1}{\Delta t|\beta |} \right)}^{2}}}}=\bar{L}_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}{{\text{(}u\text{)}}_{(\mathit{\boldsymbol{M}}, W)}}{{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \alpha {{u}^{2}}}}。$ (8)

 $\bar{x}{{\text{(}t\text{)}}_{({{\mathit{\boldsymbol{M}}}^{-1}}, T)}}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\bar{L}_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}\left( \frac{n}{T|\beta |} \right){{\text{e}}^{-\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( \alpha \frac{n}{T|\beta |}-2\beta t\frac{n}{T|\beta |}+\gamma \cdot {{t}^{2}} \right)}}},$
 $\bar{L}_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}{{\left( \frac{n}{T\left| \beta \right|} \right)}_{(\mathit{\boldsymbol{M}}, T)}}=\int_{{-T}/{2}\;}^{{T}/{2}\;}{\bar{x}{{\text{(}t\text{)}}_{({{\mathit{\boldsymbol{M}}}^{-1}}, T)}}{{\text{e}}^{-\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( \alpha \frac{n}{T|\beta |}-2\beta t\frac{n}{T|\beta |}+\gamma \cdot {{t}^{2}} \right)}}\text{d}t},$ (9)

 $\mathit{\Phi } _{n}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}(t)=\frac{\sqrt{-\beta }}{T\beta }{{\text{e}}^{-\text{i}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}}}\cdot {{\text{e}}^{-\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\left[ \alpha {{\left( \frac{n}{T\beta } \right)}^{2}}-2\beta t\frac{n}{T\beta }+\gamma \cdot {{t}^{2}} \right]}},$

 $x\text{(}t\text{)}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{{{C}_{\mathit{\boldsymbol{M}}, n}}\mathit{\Phi } _{n}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}(t)}。$ (10)

LCS的展开系数可以从信号$x\text{(}t\text{)}$的参数矩阵为M的LCT采样中得到:

 ${{C}_{\mathit{\boldsymbol{M}}, n}}=\sqrt{\frac{1}{T\beta }}L_{x}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}\left( \frac{n}{T\beta } \right),$

LCS是FS的推广, 类似于FS, 在三角基函数下, 周期信号可以在任意周期内展开为FS的形式。相应的在Chirp基函数下, 如果一个信号是Chirp周期的, 那么这个信号在任意的Chirp周期内可以展开为LCS。对于一般的信号, 可在有限区间内进行LCS展开, 在这种情况下, 展开形式在这个区间之外是信号的Chirp周期复制。

 变换类型 时域 LCT域 经典频域 LCT 连续 连续 连续(FT) LCS 连续Chirp周期 离散非Chirp周期 离散非周期(FS) DTLCT 离散非周期 连续Chirp周期 连续周期(DTFT) DLCT 离散Chirp周期 离散Chirp周期 离散周期(DFT)

1) 数值计算结果逼近连续变换;

2) 酉性, 即${{(L_{x}^{\mathit{\boldsymbol{A}}})}^{\text{H}}}=L_{x}^{{{\mathit{\boldsymbol{A}}}^{-1}}}$, H表示共轭转置;

3) 具有旋转相加性质, 即$L_{{}}^{\mathit{\boldsymbol{A}}}L_{x}^{\mathit{\boldsymbol{B}}}=L_{x}^{\mathit{\boldsymbol{C}}}$, 这里$\mathit{\boldsymbol{C}}=\mathit{\boldsymbol{AB}}$;

4) 当A取特殊值时, 能够与现有的离散算法, 如离散Fourier变换(DFT), 离散分数Fourier变换(DFRFT)一致。

3 直接离散LCT

3.1 Pei方法

2000年, Pei等人[22]利用第一种方式首先得到了如下DLCT:

 \begin{align} &X_{{}}^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(m\Delta u)=\sqrt{\frac{1}{\text{i2 }\!\!\pi\!\!\text{ }b}}\Delta t \\ &\;\;\;\;\;\;\;\cdot \sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{{N}/{2}\;-1}{{{\text{e}}^{\text{i}\left[ \frac{d}{2b}{{\left( m\Delta u \right)}^{2}}+\frac{a}{2b}{{\left( n\Delta t \right)}^{2}}-\frac{1}{b}mn\Delta u\Delta t \right]}}x(n\Delta t)} ,\\ \end{align} (11)

 $\Delta t\Delta u=\frac{\text{2 }\!\!\pi\!\!\text{ }\!\!|\!\!\text{ }b|}{M},$ (12)

 \begin{align} &X_{{}}^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(m\Delta u)=\sqrt{\frac{1}{M}} \\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\cdot \sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{{N}/{2}\;-1}{{{\text{e}}^{\text{i}\left[ \frac{d}{2b}{{\left( m\Delta u \right)}^{2}}+\frac{a}{2b}{{\left( n\Delta t \right)}^{2}}-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }mn\rm sgn (b)}{M} \right]}}x(n\Delta t)} \\ \end{align} (13)

 \rm sgn (b)=\left\{ \begin{align} &1\ , \ \ \ \ \ b>0 \\ &-1, \ \ \ b<0 \\ \end{align} \right.。 (14)

 \begin{align} &x(n\Delta t)=\sqrt{\frac{1}{M}} \\ &\;\;\;\;\;\;\cdot \sum\limits_{m=-{M}/{2}\;}^{{M}/{2}\;-1}{{{\text{e}}^{-\text{i}\left[ \frac{a}{2b}{{\left( n\Delta t \right)}^{2}}+\frac{d}{2b}{{\left( m\Delta u \right)}^{2}}-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }mn\rm sgn (b)}{M} \right]}}{{X}^{\mathit{\boldsymbol{A}}}}(m\Delta u)}, \\ \end{align} (15)

M=NA=[0, 1;-1, 0]时, 式(13)和式(15)是经典的DFT变换对。文献[36, 68]提到的DLCT都是这里定义的DLCT特殊情况。

 $L_{x}^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(m\Delta u)=\sqrt{d}{{\text{e}}^{\text{i}\frac{cd{{(m\Delta u)}^{2}}}{2}}}x(dm\Delta u)。$ (16)

 $\int_{-{W}/{2}\;}^{+{W}/{2}\;}{|x\text{(}t\text{) }\!\!|\!\!\text{ d}t}\cdot \frac{\text{1}}{\int_{-\infty }^{+\infty }{|x\text{(}t\text{) }\!\!|\!\!\text{ d}t}}\approx 1$

 $\frac{1}{\Delta t}>{{B}_{0}}+\left| \frac{a}{b} \right|\cdot W$

3.2 Sheridan方法

 ${{x}_{\text{s}}}\text{(}t\text{)}=x\text{(}t\text{)}{{\text{ }\!\!\delta\!\!\text{ }}_{\Delta t}}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{x\text{(}t\text{) }\!\!\delta\!\!\text{ }(t-n\Delta t)},$ (17)

 ${{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(m\Delta u)=\sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{{N}/{2}\;-1}{x(n\Delta t)\cdot {{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }[\alpha {{(m\Delta u)}^{2}}-2\beta (m\Delta u)(n\Delta t)+\gamma {{(n\Delta t)}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}},$ (18)

 $W_{N}^{n, m}={{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\left[ \alpha {{\left( \frac{m}{N\Delta t\beta } \right)}^{2}}-\frac{2mn}{N}+\gamma {{(n\Delta t)}^{2}} \right]}},$ (19)

M=N时, 文献[22]和文献[57]两种DLCT的定义从本质上来说是等价的, 都要求采样间隔满足\Delta t\Delta u=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }|b|/N\Delta t\Delta u=1/(N|\beta |), 算法在LCT参数取特殊情况时, 可以退化为特殊的离散变换。这两种DLCT都需要选择合适采样点数N, 时域采样间隔\Delta t、LCT域采样间隔\Delta u, 使离散变换的结果能够很好地逼近连续变换同时保持酉性。对以上参数选择的方法在文献[36, 63]中给出了详细介绍。文献[71]从数学角度给出了当LCT域采样间隔是Ding采样间隔2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }|b|/(N\Delta t)q倍(q与采样点数N互质)时, DLCT都具有酉性[72]。酉性在工程中也极其重要, 如相位调制, 因此, 文献[71]的结论对定义DLCT将非常有用。后来, Sheridan等团队为了克服文献[57]中DLCT定义的限制, 提出了如下改进的DLCT。 3.3 改进的DLCT 在文献[57]中给出的DLCT, 输出范围与离散变换点数N, 时域的采样间隔\Delta t以及变换参数b有关。这里β是任意, 无法先设定, 那么对于给定的N, 必须通过改变\Delta t来改变输出的频率范围。这两个要求限定了必须给定以下三个变量中的两个才能有效进行离散化, 即输入范围, 输出范围, 采样频率。为了克服这些限制, 在文献[73]中提出了以下三种改进的DLCT: 1) 尺度保持的DLCT  {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(m\Delta t)=\sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{{N}/{2}\;-1}{x(n\Delta t)\cdot {{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }[\alpha {{(m\Delta t)}^{2}}-2\beta (m\Delta t)(n\Delta t)+\gamma {{(n\Delta t)}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}}\;, (20) 根据采样定理[35], 这里\Delta u=\Delta t=1/(B|\beta |), 其中B是输入信号的LCT域关于参数M的带宽; 采样点数N=W/Δt, W是信号的时宽。这个算法实现时, 必须首先根据文献[35]中的推论2, 确定时域的采样间隔Δt, 然后确定采样点数N。利用这种算法可以得到区间[-N\Delta t/2, N\Delta t/2]内LCT域的频谱, 但是无法观测更大区间的LCT频谱。基于这个限制, 通过引入一个自由变量s, 提出了任意尺度扩展的DLCT。 2) 尺度变化的DLCT  {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(m\Delta t)=\sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{{N}/{2}\;-1}{x(n\Delta t)\cdot {{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }[\alpha {{(sm\Delta t)}^{2}}-2\beta (sm\Delta t)(n\Delta t)+\gamma {{(n\Delta t)}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}}\;, (21) 这里-N/2\le m\le \ N/2-1。该算法输出的范围为[-sN\Delta t/2, \ sN\Delta t/2]。该定义实质是Pei定义的DLCT[22]。只是这里的引入参数s更加直观, 可以通过选择参数s改变输出的范围。当采样点数N一定时, 可以根据需要适当选择缩放因子s来扩大和缩小LCT域的频谱。由于采样间隔受采样定理的限制, 因此, 需要根据LCT对信号Wigner-Ville分布(WVD)的影响, 考虑插值或抽取运算来满足采样的条件。这样会给算法带来插值误差, 那么为了克服这一问题, 文献[73]提出了另外一个更加灵活的DLCT, 即任意尺度的DLCT。 3) 任意尺度的DLCT 这类DLCT定义输出点数M\ne N, 即:  {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(m\Delta t)=\sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{{N}/{2}\;-1}{x(n\Delta t)\cdot {{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }[\alpha {{(sm\Delta t)}^{2}}-2\beta (sm\Delta t)(n\Delta t)+\gamma {{(n\Delta t)}^{2}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}}}\;, (22) 这里-M/2\le m\le \ M/2-1, LCT域的范围为[-sM\Delta t/2, \ sM\Delta t/2], 算法不需要对信号进行插值运算。 针对上面的DLCT, 直接求和计算需要O(NM)次复数算术运算, 其中一次算术运算包括一次复数乘法和一次复数加法。高效算法的引入可以使计算复杂度大大降低。这些降低计算复杂度的算法统称为快速DLCT。一般来说, 快速算法能够将N点DLCT的计算复杂度降到O(N\log N)。其优点还包括:减小了存储需求、降低了由于有限位运算(乘/除和加/减在实际中都是以有限字长实现的)引起的计算误差。接下来将分别介绍现有的快速DLCT算法。 4 基分解的快速DLCT 在式(18)定义的DLCT基础上, 将N点DLCT, 转化为多个短序列的DLCT, 利用这些短序列的DLCT, 通过迭代算法实现N点快速运算, 这样的算法称为基分解快速DLCT。经典DFT已经有很多快速实现方法, 例如基2时间抽取, 基2频域抽取和分裂基FFT算法等。最近十几年, 基于FFT的思想利用LCT的时移和频移性质、Chirp周期性质、离散变换核的对称性质, 提出了一些基分解的快速DLCT算法[57, 74-77]。离散序列的LCT时域和频移性质如下: 性质1 连续信号x\text{(}t\text{)}以采样间隔为\Delta t离散化以后, 得到序列x\text{(}n\Delta t\text{)}, 离散序列x{\rm{(}}n\Delta t{\rm{)}}的DTLCT式(6)具有如下时间移位和调制性质:  \begin{array}{l} \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x((n - l)\Delta t) \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }}[\alpha {u^2} - 2\beta u(n\Delta t) + \gamma {{(n\Delta t)}^2}{\rm{]}}}}} \\ = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot \gamma {{(l\Delta t)}^2}\left( {\gamma - \frac{{\alpha {\gamma ^2}}}{{{\beta ^2}}}} \right)}} \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot l\Delta tu\left( {\frac{{\gamma \alpha }}{\beta } - \beta } \right)}}\tilde L_x^{\mathit{\boldsymbol{M}}}\left( {u - \frac{{\gamma l\Delta t}}{\beta }} \right), \end{array} (23)  \begin{array}{l} \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {[x(n\Delta t) \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot {\rm{2}}\xi (n\Delta t)}}] \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }}[\alpha {u^2} - 2\beta u(n\Delta t) + \gamma {{(n\Delta t)}^2}{\rm{]}}}}} \\ = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot \frac{{\alpha \xi }}{\beta }\left( {2u - \frac{\xi }{\beta }} \right)}} \cdot \tilde L_x^{\mathit{\boldsymbol{M}}}\left( {u - \frac{\xi }{\beta }} \right)。\end{array} (24) 性质2 式(18)定义的DLCT, 离散变换核W_N^{n, m}具有以下性质:  W_N^{n, pm} = W_{N/p}^{n, m}, (25)  W_N^{pn + x, m} = \nu (p, x)W_{p/N}^{n, m}, (26) 其中:  \nu (p, x) = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }}\left[ {\alpha (1 - {p^2}){{\left( {\frac{m}{{N\Delta t\beta }}} \right)}^2} - \frac{{2mx}}{N} + \gamma {{(\Delta t)}^2}({{(pn + x)}^2} - {n^2})} \right]}}。 (27) 这些性质对推导DLCT基分解快速算法非常重要。 为了使W_N^{n, m}具有对称性质, 引入中间变量h, 满足\Delta t = h/\sqrt N , 那么W_N^{n, m}转化为  W_{N, h}^{n, m} = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }}\left[ {\frac{\alpha }{N}{{\left( {\frac{m}{{h|\beta |}}} \right)}^2} - \frac{{2mn}}{N} + \gamma \frac{{{{(nh)}^2}}}{N}} \right]}}。 (28) W_{N, h}^{n, m}具有以下性质: 1)  W_{N, h}^{2n, 2m} = W_{N/4, h}^{n, m}; (29) 2)  W_{N, h}^{n + \xi , m} = \mu _0^N(\xi , n)\mu _{}^N(\xi )\mu _1^N(\xi , m)W_{N, h}^{n, m}, (30) 其中:  \mu _0^N(\xi , n) = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot \gamma \cdot {h^2}\frac{{2n\xi }}{N}}}, \mu _{}^N(\xi ) = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot \gamma \cdot {h^2}\frac{{{\xi ^2}}}{N}}},  \mu _1^N(\xi , m) = {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}m\xi }}{N}}}; 3)  W_{N, h}^{n, m + \eta } = \mu _2^N(\eta , m)\mu _3^N(\eta , n)W_{N, h}^{n, m}, (31) 其中: \mu _2^N(\eta , m) = {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot \frac{\alpha }{N}\frac{{2m\eta }}{{{{(h\beta )}^2}}}}}{{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot \frac{\alpha }{N}{{\left( {\frac{\eta }{{h\beta }}} \right)}^2}}},  \mu _3^N(\eta , n) = {{\rm{e}}^{ - {\rm{i}} \cdot \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}n\eta }}{N}}}; 4)  \begin{array}{l} W_{N, h}^{(n + \xi ), (m + \eta )} = \mu _2^N(\eta , m)\mu _3^N(\eta , n + \xi )\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\cdot \mu _0^N(\xi , n)\mu _{}^N(\xi )\mu _1^N(\xi , m)W_{N, h}^{n, m}。\end{array} (32) 充分利用以上性质, 将基分解的DLCT算法分为频率抽取算法, 时域抽取算法, 时域和频域同时抽取算法。 4.1 频率抽取算法 文献[75]首先提出了基2频率抽取算法。该算法将N点输入序列分解为前半部分与后半部, 转化为如下DLCT:  \begin{align} & {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(m\Delta u)=\sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{-1}{\left\{ x(n\Delta t)W_{N,h}^{n,m} \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. +x\left[ \left( n+\frac{N}{2} \right)\Delta t \right]W_{N,h}^{n+{N}/{2}\;,m} \right\}, \\ \end{align} (33) 其中 - N/2 \le m \le \;N/2 - 1。利用式(25)和式(30), 得到:  \begin{align} & {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(m\Delta u)=\sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{-1}{\left\{ x(n\Delta t)+x\left[ \left( n+\frac{N}{2} \right)\Delta t \right] \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \cdot \mu _{0}^{N}\left( \frac{N}{2},n \right)\mu _{{}}^{N}\left( \frac{N}{2} \right)\mu _{1}^{N}\left( \frac{N}{2},m \right) \right\}W_{N,h}^{n,m}, \\ \end{align} (34) 然后将m分为偶数和奇数情况, 式(34)简化为  \begin{align} & {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(2m\Delta u)=\sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{-1}{\left\{ x(n\Delta t)+x\left[ \left( n+\frac{N}{2} \right)\Delta t \right] \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \cdot \mu _{0}^{N}\left( \frac{N}{2},n \right)\mu _{{}}^{N}\left( \frac{N}{2} \right) \right\}W_{N/2}^{n,m}, \\ \end{align} (35)  \begin{align} & {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}((2m+1)\Delta u)=\mu _{2}^{{N}/{2}\;}\left( \frac{1}{2},m \right)\sum\limits_{n=-{N}/{2}\;}^{-1}{\mu _{3}^{{N}/{2}\;}\left( \frac{1}{2},n \right)\left\{ x(n\Delta t) \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +x\left[ \left( n+\frac{N}{2} \right)\Delta t \right]\left. \mu _{0}^{N}\left( \frac{N}{2},n \right)\mu _{{}}^{N}\left( \frac{N}{2} \right) \right\}W_{N/2}^{n,m+\frac{1}{2}} 。\\ \end{align} (36) 那么N点DLCT可以通过式(35)和式(36)转化为两个N/2点DLCT实现, 这一算法本身可以节省部分算术运算, 而更多的节省来自于将N/2点序列不断的重复分解直到分解为2点序列为止。在输入信号的长度为N=2n时, 算法具有高的计算效率, 相应的计算复杂度为O(N\log N) 当数据长度N = {3^q}时, 文献[75]利用相同的思想提出了基3频域抽取算法, 首先将N点的序列分解为长度为N/3点的离散序列(即前N/3个点, 中间N/3点以及后N/3):  {x_j}{\rm{(}}n\Delta t{\rm{)}} = x{\rm{(}}n + jN/r{\rm{)}},  - N/2 \le n \le \; - (N(r - 1)/2r) - 1,  j = 0, 1, 2, \ldots , r - 1, 然后频域m分解为3m + j, - N/6 \le m \le N/6 - 1, j = 0, 1, 2, 不断重复这种分解最后得到计算复杂度为O(N\log N)的快速算法。为了使分解基长度更加的灵活, 文献[77]进一步提出了一般基频域抽取算法, 当输入数据长度N = sr时, 首先将数据分解为r个长度为s的短数据, 相应的m分解为r个长度为s的序列, 即为rm + j, - N/2r \le m \le (N/2r) - 1, 这样就把一个长度为N的DLCT分解为r个长度为s的短序列DLCT计算。利用这种分解方法可以实现基为素数的DLCT快速计算, 并且可以根据实际的需要来选择分裂基的长度, 这里对输入数据的长度N要求仅为任意的合数, 分裂基的长度是N的因子。因此, 一般基频域抽取算法更加灵活。 从算法的分解来看, 在分解过程中输入信号都是顺序输入的, 但是输出的顺序是按一定间隔抽取的。相反, 针对输出是顺序的, 输入将按照一定规律抽取, 这样的算法称为时间域抽取算法。 4.2 时间域抽取算法 文献[74]提出了基2时间抽取算法, 首先将输入的N点离散序列分解为长度为N/2点两部分序列, 一部分是包含偶数离散点x{\rm{(2}}n\Delta t{\rm{)}}, 一部分包含奇数离散点x{\rm{((2}}n + 1)\Delta t{\rm{)}}, - N/4 \le n \le N/4 - 1, 即:  \begin{align} & {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(m\Delta u)=\sum\limits_{n=-{N}/{4}\;}^{{N}/{4}\;-1}{\left\{ x(2n\Delta t)\nu (2,0) \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. +x\left[ (2n+1)\Delta t \right]\nu (2,1) \right\}\ W_{N/2}^{n,m}, \\ \end{align} (37) 这里用到了式(26), \nu ( \cdot )见定义式(27)。然后将频率变量分解为前半部分与后半部分, 得到两个长度为N/2的DLCT:  \begin{align} & {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(m\Delta u)=\sum\limits_{n=-{N}/{4}\;}^{{N}/{4}\;-1}{\left\{ x(2n\Delta t)\nu (2,0) \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. +x[(2n+1)\Delta t]\nu (2,1) \right\}\cdot W_{N/2}^{n,m}, \\ \end{align}  \begin{align} & {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}((m+\frac{N}{2})\Delta u)=\sum\limits_{n=-{N}/{4}\;}^{{(N}/{4}\;)-1}{\left\{ x(2n\Delta t)\nu (2,0) \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. +x\left[ (2n+1)\Delta t \right]\nu (2,1) \right\}\cdot {{\text{e}}^{\text{i }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \alpha \frac{4m+N}{N{{(\Delta t\beta )}^{2}}}}}W_{N/2}^{n,m} ,\\ \end{align} (38) 这里 - N/2 \le m \le - 1。因此, 可以利用两个N/2点的DLCT得到长度为N点的DLCT。同样, 可以将N/2点的序列反复分解与迭代直到分解为2点DLCT。为了改善时间抽取基长度的灵活性, 文献[76]进一步提出了一般基的时间抽取算法。这与频率抽取算法类似, 可以根据需要来选择基的长度, 这里对输入数据长度要求为合数, 即N = sr, 可以适当选择sr的大小来选择合适的基。 4.3 时间和频率同时抽取算法 自然的, 可以结合时间和频率同时抽取来进一步得到离散算法。文献[57]利用时域和频域同时抽取提出了基4快速LCT。该算法首现将N点的序列分解为长度为前半部分和后半部分长度为N/2的序列, 即式(33), 然后再将分解后得到的序列和频率同时分解为包含偶数点和奇数点两部分, 这样输入的序列被分解为长度为N/4的DLCT, 即得到如下算法:  {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}(2m\Delta t)=A(m)+\mu _{{}}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2} \right)\mu _{1}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2},m \right)B(m),  \begin{align} & {{X}^{\mathit{\boldsymbol{M}}}}((2m+1)\Delta t)=\mu _{2}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2},m \right)C(m) \\ & +\mu _{2}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2},m \right)\mu _{{}}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2} \right)\mu _{1}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2},m \right)D(m) ,\\ \end{align} (39) 其中: - N/4 \le m \le N/4 - 1,  \begin{align} & A(m)=\sum\limits_{n=-{N}/{4}\;}^{-1}{\left\{ x(2n\Delta t)+x\left[ \left( 2n+\frac{N}{2} \right)\Delta t \right] \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \cdot \mu _{0}^{N}\left( \frac{N}{2},2n \right)\mu _{{}}^{N}\left( \frac{N}{2} \right) \right\}W_{N/4,h}^{n,m}, \\ \end{align}  \begin{align} & B(m)=\sum\limits_{n=-{N}/{4}\;}^{-1}{\mu _{0}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2},n \right)\left\{ x((2n+1)\Delta t) \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ +x\left[ \left( 2n+1+\frac{N}{2} \right)\Delta t \right]\left. \mu _{0}^{N}\left( \frac{N}{2},2n+1 \right)\mu _{{}}^{N}\left( \frac{N}{2} \right) \right\}W_{N/4,h}^{n,m}, \\ \end{align}  \begin{align} & C(m)=\sum\limits_{n=-{N}/{4}\;}^{-1}{\left\{ x(2n\Delta t)-x\left[ \left( 2n+\frac{N}{2} \right)\Delta t \right] \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left. \cdot \mu _{0}^{N}\left( \frac{N}{2},2n \right)\mu _{{}}^{N}\left( \frac{N}{2} \right)\mu _{3}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2},n \right) \right\}W_{N/4,h}^{n,m}, \\ \end{align}  \begin{align} & D(m)=\sum\limits_{n=-{N}/{4}\;}^{-1}{\mu _{0}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2},n \right)\mu _{3}^{{N}/{4}\;}\left( \frac{1}{2},\frac{2n+1}{2} \right)\left\{ x((2n+1)\Delta t) \right.} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x\left[ \left( 2n+1+\frac{N}{2} \right)\Delta t \right]\left. \mu _{0}^{N}\left( \frac{N}{2},2n+1 \right)\mu _{{}}^{N}\left( \frac{N}{2} \right) \right\}W_{N/4,h}^{n,m} 。\\ \end{align} 利用Chirp周期性质式(8), 将式(39)转化到 - N/8 \le m \le N/8内进行迭代计算, 进而通过计算两个短序列DLCT得到原N点序列DLCT。进一步将N/4点的序列分解为两个N/16点的序列, 然后通过计算两个N/16点序列的DLCT得到原来N/4点序列的DLCT, 重复这一过程直到分解为4点或者2点序列为止。这个算法称为是DLCT基4分解的快速实现方法, 要求输入信号的长度为{2^q}, q是任意的正整数, 算法的计算复杂度O(N\log N), 并且具有好的可逆性和酉性。 基于这些分解算法结合文献[78-79]所提算法, 文献[74]提出了基2时间/频率分解和基4分解算法。这个算法具有较少数目的加法和乘法, 但是目前对DLCT基分解的实现还没有最优选择方法。基分解的DLCT快速算法是仅仅利用LCT的一些性质来高效率地实现DLCT的计算。另外, 在很多文献中利用LCT的可加性结合已有的LCT特殊情况的算法给出了算子分解的算法。 5 算子分解的DLCT 通过LCT的可加性, 将LCT算子分解为具有快速算法的特殊算子(Fourier算子、分数阶Fourier算子、Fresnel算子、Chirp乘积、尺度变换算子等)的乘积, 进而得到LCT快速算法, 这种类型的算法称为算子分解的DLCT。此类算法重点在于考虑分解过程中采样的充分性, 保证离散点能够很好地恢复连续变换。在这个过程中采样率和采样点数的确定是算法的关键。采样率可以根据Nyquist-Shannon或者LCT域采样定理确定; 而离散点恢复连续变换的最少采样点数等于信号的时宽带宽乘积[80], 因此, 在离散化之前必须选择合适的时宽和带宽使其包含信号绝大部分能量。Wigner-Ville分布是一种双线性时频工具[46], 其实质是反映信号能量在时频平面内的分布。经典的FT对信号WVD的影响表现为时频平面旋转{\rm{ \mathsf{ π} }}/2角度, 而分数阶Fourier变换对信号WVD的影响是时频平面任意角度的旋转。不同的变换对信号WVD有不同的影响, 因此会影响变换前后信号的时宽和带宽。根据LCT与信号WVD的关系, 以及在分解过程中特殊算子对WVD的影响, 确定变换后信号时频带宽乘积(signal bandwidth product, SBP), 根据变换前后SBP的关系确定插值或者抽取的倍数, 那么SBP的确定将是算法的又一关键点。首先给出LCT与WVD的关系。 5.1 LCT与Wigner-Ville分布 信号x{\rm{(}}t{\rm{)}} \in {L^2}(R)的Wigner-ville分布(Wigner-Ville distribution, WVD)定义为[60, 81-83]  {D_{{\rm{WV}}x}}{\rm{(}}t, \omega {\rm{)}} = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( {t + \frac{\tau }{2}} \right){x^*}\left( {t - \frac{\tau }{2}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{i2 \mathsf{ π} }}\omega \tau }}{\rm{d}}\tau }  {D_{{\rm{WV}}u}}{\rm{(}}t, \omega {\rm{)}} = \int_{ - \infty }^\infty {F\left( {t + \frac{\tau }{2}} \right){F^*}\left( {t - \frac{\tau }{2}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{i2}}\omega \tau }}{\rm{d}}\tau } , (40) 其中F{\rm{(}} \cdot {\rm{)}}是信号x{\rm{(}}t{\rm{)}}的Fourier变换。Wigner-Ville分布与LCT存在密切的联系, 即一个信号LCT的Wigner-Ville分布是原信号Wigner-Ville分布坐标的仿射变换[44-46, 84-85], 也就是说, 若L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(u)是信号x{\rm{(}}t{\rm{)}}的LCT, 则L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(u)与原信号x{\rm{(}}t{\rm{)}}的WVD有如下关系:  {D_{{\rm{WV}}L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}{\rm{(}}u, v{\rm{)}} = {D_{{\rm{WV}}x}}{\rm{(}}du - bv, - cu + av{\rm{)}},  {D_{{\rm{WV}}x}}{\rm{(}}u, v{\rm{)}} = {D_{{\rm{WV}}L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}{\rm{(}}au + bv, cu + dv{\rm{)}}。 当变换参数a, b, c, d取特殊情况时, 上式退化为相应特殊变换对信号WVD的影响, 如: 1) Scaling(尺度变换)  L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(u) = \sqrt {\frac{1}{S}} f\left( {\frac{u}{S}} \right), (41)  {\mathit{\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} S&0\\ 0&{\frac{1}{S}} \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{S}}&0\\ 0&M \end{array}} \right]^{ - 1}}。 此变换对信号WVD影响:  {D_{{\rm{WV}}L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}{\rm{(}}u, v{\rm{)}} = {D_{{\rm{WV}}x}}\left( {\frac{u}{S}, Sv} \right), (42) 这里S > 0称为尺度变换因子。 2) Fourier变换(FT)  L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(u) = \exp \left( { - {\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{4}} \right)F(u), (43)  {\mathit{\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\;\;0}&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&{\;\;0} \end{array}} \right]^{ - 1}}。 FT变换对信号的WVD影响:  {D_{{\rm{WV}}L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}{\rm{(}}u, v{\rm{)}} = {D_{{\rm{WV}}x}}( - v, u), (44) 相当于时频面顺时针旋转π/2。 3) Chirp乘积(Chirp multiply, CM)  L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(u) = \exp ( - {\rm{i \mathsf{ π} }} \cdot q{u^2}) \cdot x(u), (45)  {\mathit{\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\;\;1}&0\\ { - q}&1 \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ q&1 \end{array}} \right]^{ - 1}}。 (46) CM对信号WVD的影响:  {D_{{\rm{WV}}L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}{\rm{(}}u, v{\rm{)}} = {D_{{\rm{WV}}x}}(u, v + qu)。 (47) 4) Chirp卷积(Chirp convolution, CC)  L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}(u) = f(u) * \exp \left( {{\rm{i}}\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{4}} \right) \cdot \sqrt {\frac{1}{r}} \cdot \exp \left( {{\rm{i}}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{u^2}}}{r}} \right), (48)  {\mathit{\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&r\\ 0&1 \end{array}} \right] = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - r}\\ 0&{\;1} \end{array}} \right]^{ - 1}}。 它对信号WVD的影响:  {D_{{\rm{WV}}L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}{\rm{(}}u, v{\rm{)}} = {D_{{\rm{WV}}x}}(u - rv, v)。 (49) 5) 分数阶Fourier变换(FRFT) 信号x(t)a阶分数阶Fourier变换[3, 11, 56, 59, 86-90]定义为

 $L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}} = F_{}^a(u) = \int_{ - \infty }^\infty {{K_a}(u, t)x(t){\rm{d}}t} ,$ (50)
 ${K_a}(u, t) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {1 - {\rm{i}}\cot \theta } \cdot {{\rm{e}}^{{\rm{i \mathsf{ π} }}({u^2}\cot \theta - 2ut\csc \theta + {t^2}\cot \theta )}}\;{\rm{, }}\;\;a \ne {\rm{2}}k\\ {\rm{ \mathsf{ δ} }}(u - t)\;\;, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a = 4k\\ {\rm{ \mathsf{ δ} }}(u + t)\;\;, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a = 4k \pm 2 \end{array} \right.,$

 $\begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\;\;\cos \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}&{\sin \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}\\ { - \sin \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}&{\cos \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)} \end{array}} \right]\;\\ \; = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}&{ - \sin \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}\\ {\sin \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}&{\;\;\;\cos \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)} \end{array}} \right]^{ - 1}}。\end{array}$

FRFT对信号WVD的影响:

 $\begin{array}{l} {D_{{\rm{WV}}L_x^{\mathit{\boldsymbol{A}}}}}{\rm{(}}u, v{\rm{)}} = {D_{{\rm{WV}}x}}\left[ {u\cos \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right) - v\sin \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)} \right., \\ \left. \;\;\;\;\;\;\;\;{u\sin \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right) + v\cos \left( {\frac{{a{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)} \right]。\end{array}$ (51)

 图 1 一些变换对信号WVD影响。(a)原信号的WVD；(b)尺度变换之后；(c) Fourier变换之后；(d) Chirp乘积变换之后；(e) Chirp卷积变换之后；(f)分数阶Fourier变换之后 Fig. 1 WVD of (a) original signal, (b) scale transform, (c) FT, (d) CM, (e) CC, and (f) FRFT
5.2 时频是任何形状的矩阵分解算法

 ${N_0} = {W_0}{B_0} = \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{E}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{RE}}},$ (54)

 \mathit{\boldsymbol{{S}'}}=\left[ \begin{align} & \begin{matrix} {{{{t}'}}_{1}} & {{{{t}'}}_{2}} & {{{{t}'}}_{3}} & {{{{t}'}}_{4}} \\ \end{matrix} \\ & {{{{u}'}}_{1}}\ \ \ {{{{u}'}}_{2}}\ \ \ {{{{u}'}}_{3}}\ \ \ {{{{u}'}}_{4}} \\ \end{align} \right]=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]\mathit{\boldsymbol{S}}, (55)

 ${\mathit{\boldsymbol{E'}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{W_n}}\\ {{B_n}} \end{array}} \right] = \max |{\mathit{\boldsymbol{S'D}}}|,$ (56)

 ${N_n} = {W_n}{B_n} = \frac{1}{2}{{\mathit{\boldsymbol{E'}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{RE'}}}。$ (57)

 $\begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\lambda z}\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ {\frac{1}{{\lambda z}}}&1 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda z}&0\\ 0&{\frac{1}{{\lambda z}}} \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\;\;0}&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ {\frac{1}{{\lambda z}}}&1 \end{array}} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&{\;\;0} \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\;\;1}&0\\ { - \lambda z}&1 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\;\;0}&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sec \left( {\frac{{p{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}&0\\ 0&{\cos \left( {\frac{{p{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)} \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ {\frac{1}{{\lambda q}} \cdot \tan \left( {\frac{{p{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}&1 \end{array}} \right]\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\;\;\cos \left( {\frac{{p{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}&{\lambda q \cdot \sin \left( {\frac{{p{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}\\ { - \frac{1}{{\lambda q}} \cdot \sin \left( {\frac{{p{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)}&{\cos \left( {\frac{{p{\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rm{2}}}} \right)} \end{array}} \right], \end{array}$ (58)

 $[a', b';c', d'] = \left[ {a, \frac{b}{{\Delta {t^2}N}};c\Delta {t^2}N, d} \right]$